立体几何中的角

数学组  任忠平

教学目的

（1）                掌握空间中的“角”的概念与计算方法，渗透类比、转化等思想方法。

（2）                通过对空间“角”的研究，沟通立体几何与向量之间联系，进一步发展学生的逻辑思维能力以及分析问题、解决问题能力。

（3）                培养学生的辨证唯物主义观点，完善学生的认知结构，提高学生的数学素质与研究能力。

教学重点

   空间中角的概念及求解方法。

教学难点

   将“空间角”进行转化，即确定用以表示空间角大小的平面角以及用向量知识求空间角大小。

教学过程

训练题

1．已知：P—ABC为正四面体，D为PC中点，（1）求BD与AP所成角

(2)求BD与底面ABC所成角

                                 (1)本题设置虽略为简单，但对增强学生自信，活跃

  课堂是有益的。

  (2) A：让学生探究D在面ABC的射影落在面ABC

                                    的什么位置

                                    B：教师在教学过程中，因势利导，提出问题让

                                    学生思考，讨论、探究多种解法，从而把学生

                                    的思维活动充分调动起来。

2.  在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别在BB₁，DD₁上，且AE ⊥A₁B，AF⊥ A₁D 。

（1） 求证：A₁C ⊥平面AEF

（2） 若规定两个平面所成角是这两个平面所组成的二面角中锐角或直角，则空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成角与这两个平面中所成角相等，试根据上述定理：在AB=4，AD=3，AA₁=5

求平面AEF与平面D₁B₁BD所成角大小

（1）在解决一个难题之前，设置适当阶梯，让学生始终处于提出问题，探究问题，解决问题的过程中。

                  （2）方法一： A：应把“阅读”作为教学过程的一个重要环节，给          学生以提示，从而不断提高阅读水平，增强数学建模能力。

           B：本题引导学生探究如何过某一点向某个平面作垂线。在教师主导作用下，让学生展现获得知识的思维过程，从而激发出学生探究的欲望。

                                   方法二：A：本题解法引导学生过A点向平面D₁DBB₁作垂线，则该垂线必定垂直平面内两相交直线，则用向量的方法解决垂直问题较为容易。

                                    B： 数学的探究性教学要求教师指导、调控学生的探究性思维过程，使学生的思维活动与成功的数学思维同步。

3、在棱长为a的正方体，ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁A、B₁C₁中点

（1） 求直线BD与EF所成角大小

（2） 求二面角B₁－EＢ－Ｆ的大小

（3） 求直线BC与平面BEF所成角大小

（1）A：求异面直线所成角关键在于如何平行移动转化为两相交直线  所成角。

            B： 说明异面直线成角与它所对应的向量所成的锐角或直角相等。

（2）A： 引导学生探究在平面A₁ABB₁中“发现”垂直于BE直线。

              B： 在平面BEF中，过F作FG⊥BE，求G 点是一个难点，通过对G点的求法探索，从而在解题活动中发展学生的思维能力。

（3） 方法一：探究过C平面与BEF互相垂直，虽有吃力不讨好的感觉。但学生能力的发展
正是在这种不断探究，不断质疑，不断否定，不断选择的过程中得到实现的。

方法二：既然过C且垂直面BEF的平面，不容易发现，不妨设而不求，利用棱锥体积

公式，求得C到平面BEF距离，也是一种成功的解题策略。
方法三：启发学生由BC与面BEF的所成角转化为B₁C₁与面BEF的成角。要指导学生探

究解题的思维过程，善于捕捉思维的“火花”，掌握方法，灵活运用，成为知识的“发

现者”、“探究者”和“运用者”。

三：小结并布置作业。